Math et poker : L'aversion au risque peut nuire �� l'esp��rance de gains
La th��orie des perspectives (prospect theory en anglais) a ��t�� d��velopp��e par Daniel Kahneman, professeur de psychologie �� l'universit�� de Princeton et prix Nobel d'��conomie en 2002. Elle fait partie des th��ories de l'��conomie comportementale et d��crit l'attitude des individus devant prendre une d��cision dans un environnement probabiliste o�� les diff��rents r��sultats possibles sont connus.
Dans un premier article, consacr�� �� la prise de la d��cision selon la th��orie des perspectives, nous avions vu que la plupart des gens prennent leurs d��cisions, non pas en maximisant leur esp��rance de gains (expected value, EV), mais en essayant de r��duire les risques quitte �� perdre enl'EV.
Aujourd'hui, nous nous penchons sur le probl��me de Samuelson, pr��sent�� par Daniel Kahneman dans son ouvrage Thinking Fast & Slow. Comment une personne rationnelle peut-elle refuser un pari EV+ mais en accepter plusieurs ? A cause de l'aversion au risque.
Le probl��me de Samuleson : prendre le coin flip ou pas ?
Le grand Paul Samuelson �C un g��ant parmi les ��conomistes du XX��me si��cle �C a pos�� �� l'un de ses amis la question de savoir s'il accepterait de parier sur un pile ou face [coin flip] o�� il pourrait perdre 100$ et en gagner 200$. Son ami lui r��pondit?: "Je refuserai le pari car je ressentirais davantage la perte de 100$ que le gain de 200$. Mais je rel��verais le pari si tu me promets de me laisser 100 lancers".
Ce type de r��ponse devrait surprendre un joueur de poker pour qui, soit le pari est rentable sur le long terme et donc bon pas �� prendre, soit il n'est pas rentable - et en jouer un ou 100 reste une perte en terme d'EV. Mais pour l'ami de Samuelson, victime d'une aversion au risque, perdre 100$ lui procure deux fois plus de peine que de gagner 200$, c'est pourquoi la proposition ne l'int��resse pas.
Mais alors pourquoi accepter si 100 lancers sont possibles?? Analysant la r��ponse de son ami Samuelson explique pourquoi le choix de son ami est justifiable et "en arrive �� une conclusion qui contrevient au bon sens, voire m��me �� la rationalit��?: la proposition de 100 lancers est si attirante, qu'aucune personne sens��e ne la refuserait" selon Kahneman.
Du pari individuel �� l'agr��gation de paris
Kahneman cite les travaux deMatthew Rubin et Richard Thaler?: "L'agr��gat de 100 paris avec 50% de risques de perdre 100$ et 50% de chances de gagner 200$ a un gain esp��r�� de 5.000$, avec 1/2.300 chances de finir perdant et environ 1/62.000 chances de perdre plus de 1.000$". Comment une personne cens��e pourrait-elle refuser??
Le tableau ci-dessous repr��sente la pr��f��rence de l'ami de Samuelson, la ligne "Pertes doubl��es" servant �� exprimer son aversion au risque. Seuls trois lancers sont indiqu��s, mais le r��sultat est suffisamment instructif pour que l'on n'ait pas besoin de faire le calcul pour les 100 lancers.
| Proposition | Distribution | Total EV |
|---|---|---|
| Un lancer | 50%*-100$ + 50%*200$ | 50$ |
| Pertes doubl��es | 50%*-200$ + 50%*200$ | 0$ |
| Deux lancers | 25%*-200$ + 50%*100$ + 25%*400$ | 100$ |
| Pertes doubl��es | 25%*-400$ + 50%*100$ + 25%*400$ | 50$ |
| Trois lancers | 12,5%*-300$ + 37,5%*0$ + 37,5%*300$ + 12,5%*600$ | 150$ |
| Pertes doubl��es | 12,5%*-600$ + 37,5%*0$ + 37,5%*300$ + 12,5%*600$ | 112,5$ |
"Vous pouvez voir qu'un lancer unique a une expected value de 50$. N��anmoins, un lancer ne vaut rien pour l'ami de Samuelson, car la peine provoqu��e par la perte d'1$ vaut deux fois le plaisir suscit�� par le gain d'1$". Ainsi, pour l'ami de Sam parier sur un lancer, bien qu'EV+ sur le long terme, ne vaut rien �� cause de son aversion pour le risque.
Au contraire, avec deux lancers et des pertes doubl��es, les deux extr��mes (une perte de 200$ et un gain de 400$) s'annulent pour ne laisser qu'une possibilit�� favorable (50% de chance de gagner 100$). Avec trois lancers, la proposition est encore plus favorable.
L'aversion au risque a un co?t financier
"Maintenant, vous pouvez voir ce que co?te un mode de pens��e �� court terme et la magie de l��agr��gation des paris. Il y a deux paris favorables qui, consid��r��s s��par��ment par l'ami de Samuelson, ne valent rien. Si on lui fait la proposition deux fois s��par��ment, il rejettera les deux. Mais si on lui propose les deux paris ensemble, ils valent 50$?! [��] L'aspect le plus remarquable de cette histoire est que l'ami de Samuelson n'a jamais remis en cause son aversion au risque".
En guise de conclusion, Kahneman adresse un sermon destin�� �� quiconque prendrait ses d��cisions en fonction de son aversion au risque plut?t qu'en cherchant �� maximiser le gain esp��r�� sur le long terme (EV)
Vous aurez de nombreuses opportunit��s de consid��rer des paris favorables dont les enjeux sont minimes relativement �� fortune totale. Vous feriez une grande faveur �� vos finances en ��tant capable de voir chacun de ces paris comme une partie d'un ensemble plus vaste de paris et de r��p��ter la mantra qui vous rapprochera de la rationalit�� ��conomique?: gagner un peu, perdre un peu. L'objectif principal de cette mantra est de conserver le contr?le de vos ��motions face �� une perte. Si vous la pensez effective, vous devriez vous la rem��morer quand vous d��cidez ou non de prendre un pari avec une esp��rance math��matique positive (EV+).
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