Math��matiques poker : Diss��quer une hand range avec le calcul des combinaisons
Quand ils analysent une main jou��e au poker, beaucoup de joueurs ont assimil�� le fait de penser en terme de "hand range" (l'��ventail de mains possibles chez un joueur) plut?t que de chercher �� deviner quelle est la main pr��cise de l'adversaire. Ainsi, on peut souvent entendre "Ici, l'adversaire �� JJ+, AK", ce qui signifie que l'adversaire joue une paire de Valets ou mieux et As-Roi. On compte ainsi 169 mains possibles au d��part.
Une autre fa?on de voir les choses est de penser en termes de combinaisons de deux cartes possibles pr��flop. De cette mani��re, il y a 1.326 mains de d��part possibles. L'int��r��t des combinaisons est de savoir dans quelle proportion une main est repr��sent��e dans une range.
Hand range vs combinaisons
Pour calculer le nombre de combinaisons possibles de mains pr��flop, la m��thode est simple?:
- pour les mains ne formant pas une paire?: nombre de cartes A multipli�� par nombre de cartes B.
Ainsi, pour calculer le nombre d'As-Rois possibles?: 4 As*4 Rois = 16 fa?ons de recevoir As-Rois pr��flop.
- pour les paires servies?: (Nombre de cartes possibles * nombre de cartes possibles-1)/2
Pour recevoir une paire d'As pr��flop il convient de recevoir un premier As (quatre cartes possibles) puis d'en recevoir un second (trois cartes restantes). Puis l'on divise par deux car recevoir A?A? est exactement la m��me chose que de recevoir A?A?.
L'int��r��t de cette m��thode de calcul est de donner une image fiable de la distribution des mains. Par exemple, en terme de range, une paire d'As ou As-Roi repr��sentent chacune une main sur les 169 possibles. Pourtant dans la r��alit��, il est bien plus probable d'avoir As-Roi que les As. Il y a six paires d'As possibles contre 16 As-Rois, on re?oit donc As-Roi 2,6 fois plus souvent que les As.
| Pr��flop | Postflop |
| Il y a 1.326 combinaisons (contre 169 mains uniques) | Une paire + un kicker compte 12 combinaisons |
| Une paire servie = six combinaisons | Une double paire = neuf combinaisons |
| Deux cartes ne formant pas une paire = 16 combinaisons (12 d��pareill��es + 4 assorties) | Un brelan = trois combinaisons. |
Par exemple, nous relan?ons K?K? pr��flop et sommes sur-relanc�� par un joueur avec un pourcentage de 3-bet de 3%. Nous payons et voyons le flop 5?A?7?. Une range de 3-bet de 3% correspond �� JxJx,QxQx,KxKx,AxAx et AxKx.
Ici, nous serons dans une situation de way ahead/way behind, �� savoir que soit l'adversaire a au moins un As en main et est largement favori, soit il n'a pas d'As est nous sommes largement favori. En supposant qu'il fasse un continuation bet 100% du temps dans cette situation, est-il profitable de payer??
Il y a 3 combinaisons de paires d'As servies possibles et 6 combinaisons d'As-Roi qui nous battent. De l'autre c?t��, nous sommes devant 6 combinaisons de paires de Dames et 6 combinaisons de Valets. Au total, 9 combinaisons nous battent, nous battons 12 combinaisons (et partageons contre l'unique combinaison de paire de Rois possible). Malgr�� l'As au flop et la range serr�� de l'adversaire, nous sommes encore favori.
Evidemment cet exemple est simpliste et dans la r��alit�� les situations rencontr��es seront plus complexes. Il sera quasiment impossible de se livrer �� ce type de calcul en pleine session �� la table. De plus, ce serait inutile, puisque des logiciels comme PokerStove existent pour calculer l'��quit�� au showdown.
Un cas plus complexe : ��valuer la rentabilit�� d'un bluff
Calculer les diff��rentes combinaisons possible ne remplace pas la lecture des ranges adverses, l'observation des tendances adverses ou la prise en compte des dynamiques de la table mais permet de pond��rer la mani��re dont est constitu��e la range adverse et de savoir dans quelle proportion un type de mains y est repr��sent��. Cela permet aussi d'��valuer la fold equity existante sur une range.
Supposons un joueur qui ouvre 11% de ses mains UTG. Il relance �� 3 big blinds (bb) pr��flop, nous d��cidons de suivre sa relance avec 8?9? au bouton, les blinds passent et nous voyons le flop 7?A?2? en heads-up. L'adversaire fait un continuation bet de 5bb dans un pot de 7,5bb.
Le pot fait donc 12,5bb lorsque la parole arrive jusqu'�� nous. Ici, nous avons rat�� le flop et n'avons quasiment aucune chance de gagner le pot au showdown, il n'est donc pas question de suivre (et on ignore l'option de suivre pour float turn). Il est tr��s possible que l'adversaire ait un As ici, en m��me temps, ce flop est parfait pour un continuation bet (une grosse carte et aucun tirage). De plus, si l'on a d��cid�� de payer pr��flop ce n'est pas simplement pour essayer de toucher un flop mais aussi pour profiter de la position et "outplay" l'adversaire. Notre choix se r��sume donc ��?: - passer ou �C relancer en tentant un bluff. Pour cela il convient de savoir dans quelle mesure nous parviendrons �� faire passer l'adversaire.
Encore une fois, pour simplifier, nous supposons qu'il fait un c-bet 100% du temps dans ce type de situation et qu'il abandonnera toujours le coup s'il n'a pas touch�� au moins une top paire au flop et payera 100% du temps avec une top paire ou mieux. Une relance "standard" ici sera de la taille du pot soit 12,5 big blind. Pour que notre bluff soit rentable, il faut donc qu'il fonctionne au moins 50% du temps (donc faire passer plus de 50% de la range adverse) - puisque l'on risque 12,5bb pour gagner 12,5bb.
Une range de 11% correspond �� 2x2x+, AxJx, AxQx, AxKx,A?J?, A?Q?, A?K? KxQx, K?J? et K?Q? (les X? marquent les cartes assorties).
Ici, l'adversaire va payer avec?:
- brelan?: AxAx, 7x7x et 2x2x (9 combinaisons au total)?;
- top paire?: AxJx, AxQx, AxKx, A?J?, A?Q? et A?K? (45 combinaisons au total)
Il va passer avec?:
- KxQx, K?J? et K?Q? (20 combinaisons au total)?;
- toutes les paires servies sauf les As, Deux et Sept (60 combinaisons).
Au total, on peut estimer que l'on va ��tre pay�� par 54 combinaisons de top paire ou mieux et que l'on va faire passer 80 combinaisons de mains inf��rieures �� la top paire. L'adversaire va donc passer plus de la moiti�� de sa range ici?: miser le pot en bluff est donc rentable.
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