La Th��orie des jeux appliqu��e au Poker
Cet article poursuit notre exploration de la Th��orie des jeux. Si vous n'avez pas lu la premi��re partie, nous vous recommandons de commencer par l��, sans quoi vous ne saisirez peut-��tre pas enti��rement cet seconde partie. En partant de cas fictifs, nous irons aux applications concr��tes.
Les exemple de cet article sont tir��s de The Mathematics of Poker par Bill Chen et Jerrod Ankenman et The Theory of Poker par David Sklansky. Nous essayons de pr��senter les id��es expos��es dans ces ouvrages de fa?on claires et accessibles �� tout le monde. Si vous d��sirez avoir plus de d��tails, ces deux livres sont de bonnes sources sur la Th��orie des jeux appliqu��e au poker.
La Th��orie des jeux et le "demi-street" poker
Nous allons jouer au poker avec une "demi-street". Qu'est-ce que c'est ? Il s'agit d'un jeu s'inspirant du poker mais simplifi�� pour pouvoir l'��tudier plus facilement. Les r��gles sont les suivantes :
? Le Joueur 1 (appel�� X) check in the dark (sans regarder ses cartes).
? Le Joueur 2 (appel�� Y) a le choix entre checker ou miser un certain montant d��fini �� l'avance.
? Si Y mise, X peut d��cider de suivre et on voit alors un showdown. X a aussi le choix de fold, mais ne peut pas relancer.
? Si Y check, les deux joueurs voient le showdown.
Pour illustrer cela :
Dans ce jeu, la main du Joueur Y est tir��e al��atoirement, 50% de ses mains vont battre la main du Joueur X et 50% vont perdre contre le Joueur X. Ce qui appara?t aussit?t, c'est que le Joueur Y ne peut pas avoir une EV n��gative dans ce jeu car il a toujours l'option de checker apr��s X, ceci lui permet d'avoir une EV=0 �� tout moment. Si les deux joueurs checkent toujours leur main, ils gagneront tous deux 50% du temps. X n'a qu'une seule main qui est connue d'Y, ce dernier a donc un avantage informationnel.
X et Y n'ont qu'une seule d��cision �� prendre. Y doit trouver une range (s��lection de mains) avec laquelle miser et X doit trouver la range avec laquelle il va payer une mise d'Y. Puisque la range du joueur X n'est constitu��e que d'une seule main, il doit en r��alit�� trouver la fr��quence �� laquelle il va suivre une mise faite par Y. Y peut jouer �� ce jeu avec une strat��gie pure (c'est-��-dire, qu'il peut choisir une option 100% du temps). Il value bet toujours les nuts et check toujours les mauvaises mains. X peut exploiter cette strat��gie en choisissant de toujours fold quand Y mise car X sait qu'Y mise uniquement ses bonnes mains. Si X call une mise, c'est uniquement pour perdre.
Si X joue ainsi, alors Y peut changer sa strat��gie en misant toutes ses bonnes mains et en bluffant avec les mauvaises. Si Y se met �� jouer ainsi, alors X peut commencer �� suivre 100% du temps, ce qui aura pour cons��quence de ramener Y vers sa strat��gie initiale (miser les nuts et checker les mauvaises mains). Vous constatez qu'ici nous avons une r��currence de strat��gies pures qui s'alternent. Ce qui signifie que la strat��gie optimale pour ce jeu n'est pas une strat��gie pure, mais une "strat��gie balanc��e" (mixed strategy), �� savoir une strat��gie o�� l'on choisis diff��rentes options un certain pourcentage de fois.
D��finir une strat��gie balanc��e (mixed strategy)
Dans ce jeu, il y a deux choix strat��giques �� faire :
Pour X : �� quelle fr��quence est-il cens�� suivre ?
Pour Y : �� quelle fr��quence doit-il bluffer ?
Y doit toujours miser avec les nuts, car cette option est clairement plus profitable que le check. X devra call un certain pourcentage de fois (C%) et Y devra bluffer un certain pourcentage de fois (B%). Quand nous conna?trons les valeurs de C et B, nous aurons notre r��ponse.
Le Joueur X
Commen?ons par le Jour X. X joue de fa?on optimale quand Y est indiff��rent entre le fait de checker ou de bluffer, cela veut dire : bluffer ou checker a la m��me EV pour le joueur Y. Si Y bluff avec succ��s (for?ant X �� folder), il gagnera P-mises (la taille du Pot) et perdra une mise si X d��cide de call. Si C est la fr��quence de call, alors 1-C est la fr��quence de fold. Si X joue de fa?on optimale, alors Y est indiff��rent au fait de checker ou de bluffer. Ainsi :
(Taille du Pot)(fr��quence de fold d'X) = (Mise en bluff)(fr��quence de call d'X)
(P)(1-C) = (1)(C)
P �C PC = C
P = C + PC
P = C(1+P)
C = P/(1+P)
Comme nous le voyons, plus le pot est gros, plus X devra d��cider de call souvent. Cela nous ram��ne au principe des Pot Odds (c?tes du pot) : Plus il y d'argent dans le pot, plus X doit caller souvent pour contrer la tendance au bluff d'Y.
Le Joueur Y
D'un autre c?t��, nous avons la strat��gie du Joueur Y. Y doit bluffer assez souvent que le Joueur X soit indiff��rent au fait de call ou de fold. Si X call, il perd une mise quand Y value bet et X gagne P+1 (la taille du pot plus une mise) quand Y bluff. (Souvenez-vous que B est la fr��quence de bluff).
1 = B(P+1)
B = 1/(P+1)
La valeur de 1/(P+1) est capitale pour l'analyse du poker. Elle est si importante que nous l'appellerons A:
A = 1/(P+1).
A implique deux choses pour ce jeu. D'abord, X doit call assez souvent pour rendre Y indiff��rent au fait de checker ou de bluffer ses mains faibles. La fr��quence de call d'X est ��gale �� P/(P+1), qui est ��gale �� 1-A. Pour ceux qui ne comprendraient pas pourquoi P/(P+1)=1-A, voici le d��tail du calcul :
Si A = 1/(P+1) alors :
1-A = 1 �C 1/(P+1)
1-A = (P+1)/(P+1) �C 1/(P+1)
1-A = (P+1-1)/(P+1)
1-A = P/(P+1)
1-A est la fr��quence de call du Joueur X et A est la fr��quence de fold d'X s'il est confront�� �� une mise du Joueur Y. De plus, comme vu pr��c��demment, Y va bluffer 1/(P+1) ou A% du temps. Nous pouvons donc conclure que la strat��gie optimale pour ce jeu est la suivante : Y mise toutes ses nuts et bluffs A% du temps ses mains faibles (ou nous pouvons aussi dire qu'Y bluff A/2 de l'ensemble de ses mains dans la mesure o�� son ratio de mains perdantes-gagnantes est de 50-50) et X call avec 1-A de l'ensemble de ses mains.
Exemples de fr��quences de bluff selon la taille du pot
Voici un exemple. Imaginons que P=3. Cela signifie que :
A = 1/(3+1)
A = 0.25 et donc : 1-A = 0.75
Nous voyons alors que le Joueur Y bluff 25% du temps. Aussi, il continue de miser ses nuts (50% du temps) et miser 25% du temps o�� il a une main m��diocre, ce qui est ��gal �� : 0.25 x 0.5 = 0.125 = 12.5 % du temps (et nous remarquons aussi que A/2 est ��gal �� 0.125). De plus, le joueur X call 75% du temps.
Admettons maintenant que P = 4.
A = 1/(4+1)
A = 0.20 et donc: 1-A = 0.80
Dans cette situation, Y doit miser 20% du temps en bluff. Il mise toujours les nuts (50% du temps) et mise en bluff 20% du temps quand il a une main perdante, soit : 0.20 x 0.5 = 0.10 = 10 % du temps (et A/2 est aussi ��gal �� 0.10). En outre, X va call 80% du temps.
Observez que la fr��quence de bluff d'Y diminue alors que le pot devient plus gros. Cela est contre-intuitif, on pense souvent que bluffer dans un gros pot r��sulte en un plus gros gain. Mais un principe important pour jouer une strat��gie optimale est que dans une partie de poker optimale, bluffer n'est pas profitable. La combinaison de bluffs/value bets a ��t�� invent��e pour s'assurer que la strat��gie optimale conserve sa valeur ind��pendamment des r��actions de l'adversaire.
La th��orie des jeux appliqu��e au Texas Hold'em
Abordons maintenant une partie de poker r��el o�� nous utilisons la th��orie des jeux pour d��cider de la fr��quence �� laquelle nous allons bluffer. Nous jouons au No Limit Texas Hold'em en t��te-��-t��te. Nous attendons apr��s la river et cherchons �� savoir �� quelle fr��quence nous pouvons bluffer dans cette situation.
Gardez �� l'esprit que l'on n'a pas n��cessairement besoin de la th��orie des jeux pour trouver la r��ponse. Face �� un joueur qui call tr��s souvent, nous n'allons pas bluffer. Inversement, face �� un joueur qui fold trop, nous allons bluffer souvent. La th��orie des jeux est utile si vous ne connaissez pas bien votre adversaire et pensez qu'il est meilleur que vous. Nous voulons alors ��tre certain qu'il ne nous exploite pas.
Supposons que nous ayons 20% de chance de gagner �� la river (par exemple avec un tirage couleur). Il y a 100$ dans le pot et une mise de 50$ semble appropri��e (60$ seraient peut-��tre mieux, mais nous pr��f��rons garder les pot odds simples). Notre adversaire se voit offrir une c?te du pot de 150:50 ou 3:1. Pour trouver la fr��quence de bluff, nous devons nous assurer que nos "bluff odds" sont ��gales aux pot odds de notre adversaire. Par "bluff odds" nous entendons la probabilit�� que nous soyons en train de bluffer au moment o�� l'on mise.
Dans la mesure o�� la c?te du pot adverse est de 3:1, notre fr��quence de bluff doit aussi ��tre de 3:1, soit 25%. Quand nous misons sur la river, nous aurons donc la meilleure main 75% du temps et 25% du temps, nous miserons pour bluffer. Miser 75% du temps avec la meilleure main river revient �� miser les 20% du temps o�� nous touchons la river qui nous donne les nuts. Les autres 25% correspondent �� 6,66% (soit 20% divis�� par 3, du fait de la c?te de 3:1). D��s lors sur la river, nous allons miser 20% du temps avec la meilleure main, bluffer 6,66% du temps et checker 73.34% du temps.
Comment appliquer cela dans la pratique ? Nous pouvons simplement choisir de toujours miser nos 9 outs (pour la couleur) pour value et miser 3 "bluff outs". Assurez vous toutefois de repr��senter quelque chose avec ces "bluff outs", sinon votre plan fera l'effet d'un p��tard mouill��. Les 3 outs correspond aux 6,66% de fr��quence de bluff (3 outs divis�� par 46 cartes inconnues = 0,065). Ainsi, sur la river nous misons quand nous touchons l'un de nos 9 outs pour les nuts et l'un de nos 3 "bluff outs" choisis au pr��alable.
Si notre adversaire doit payer une de nos mises en ayant une c?te de 3:1, il saura que nous avons la meilleure main 75% du temps et que nous bluffons 25% du temps. Ses chances de gagner sont donc de 25%. Lorsqu'il call, son EV = (0.25)($150) + (0.75)($-50) = $37.5 - $37.5 = 0$ et son EV pour fold est aussi de 0$.
Ainsi, en utilisant la th��orie des jeux, nous sommes certains de ne pas ��tre exploit�� par un adversaire inconnu et/ou meilleur que nous. Il suffit de suivre ce processus :
1) D��cidez de la taille de votre mise et regardez la c?te que vous offrez �� votre adversaire avec cette mise.
2) Assurez-vous que vos "bluff odds" sont ��gales aux pot odds offertes �� votre adversaire. Dit autrement, si vous misez sur la river, les pots odds offertes �� votre adversaire doivent ��tre ��gales �� la probabilit�� que vous bluffiez.
Juste un autre exemple. Le pot est de 500$ et vous d��sirez miser 400$. Votre adversaire a une c?te du pot de 2,25:1 ou 30,77%. Si vous d��cidez de miser dans cette situation, vous devez avoir la meilleure main 69,23% du temps et bluffer 30,77%. De cette mani��re, votre adversaire ne pourra pas vous exploiter.
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